1. 证明同为非常返或正常返或零常返.

1.1 由定理 3.3.8, 若 $i$ 常返, 则 $j$ 常返.

1.2 若 $j$ 是零常返, 则 $\nlim p_{ii}^{(n)} = 0$, 由定理 3.3.8 证明过程,

于是 $i$ 也是零常返.

2. 证明同为非周期或有相同的周期.

2.1 仍令 $p_{ji}^{(r)} = \alpha > 0$, $p_{ij}^{(s)} = \beta > 0$, 且 $i$ 的周期为 $d_i$, $j$ 的周期为 $d_j$, 则

由定理 3.3.8 证明过程, 有

从而 $d_i \mid (n + r + s)$, 又

从而 $d_i \mid (r + s)$, 于是有 $d_i \mid n$, 进而 $d_i \mid d_j$. 同理可得 $d_j \mid d_i$, 于是 $d_i = d_j$.

2.2 由 2.1, $i$ 与 $j$ 具有相同的周期, 从而同时为周期或非周期. 证毕.